3　复杂三维组合曲面网格全自动生成算法

工程结构中常用的薄壳结构,如球罐、压力容器、冷凝塔、飞机蒙皮和汽车外壳等,均是由圆柱、圆锥、球面等规则曲面或Ｂｅｚｉｅｒ、ＮＵＲＢＳ等自由曲面组合而成的。因此,三维组合曲面的有限元网格生成有着广泛的工程应用背景。组合曲面网格作为三维实体表面的离散形式,是三维实体网格剖分的前提和基础,其质量的优劣对后续生成的三维实体网格的质量有很大影响。已有的研究大多是针对单张非闭合曲面进行的,对于闭合曲面和组合曲面(相当于多个相互连接的剪裁曲面)的研究则十分有限,而该类型曲面在实际工程中却经常遇到。

三维实体表面是由若干个面域组合而成的。这些面域通过公共边界拼合在一起,构成一张连续的、形状复杂的大曲面,称为组合曲面。图2给出了组合曲面的一个示例,该曲面由六个性质单一的面域拼合而成,其中包括四个平面、一个圆柱面和一个圆锥面。组合曲面的有限元网格生成的步骤是:①将其分解为一系列性质单一的面域;②将各个面域分别映射到各自的参数空间;③在参数空间上生成有限元网格;④将网格反向映射回物理空间;⑤将这些网格剖分结果拼合起来,形成整个组合曲面的网格。

闭合曲面网格剖分的主要困难是其参数域不闭合。若引入虚边界,则相当于对有限元网格施加了人为的约束。为了解决带有闭合曲面的复杂三维组合曲面的有限元网格生成问题,笔者研究并实现了虚边界调整算法,通过调节虚边界在物理空间的位置,提高了网格的质量;借鉴并改进二维多边形区域的裁减算法,形成一个平面域边界游历算法,解决了闭合曲面在参数空间中的边界环形成问题;对邻接曲面片的公共边界进行统一离散,这样,就使得曲面拼合处的节点数目和位置具有一致性,从而满足了有限元网格的相容性要求;采用边界表示法来描述组合曲面中各级对象间的几何拓扑关系,实现了组合曲面全自动网格剖分的总成算法;改进了曲面网格剖分布点算法,并结合局部连接、诊断交换等技术,提高了组合曲面网格的整体质量[11]。图3为本文算法给出的三维组合曲面网格生成的几个算例。

    4　复杂三维实体的四面体网格全自动生成算法

　　经典Ｄｅｌａｕｎａｙ三角化方法,对于凸域剖分获得了相当好的效果,可是,并不能保证凹域剖分时边界的完整性。为了恢复凹域的原始边界,必须对经典Ｄｅｌａｕｎａｙ三角化方法加以修正,即约束Ｄｅｌａｕｎａｙ三角化方法。该方法是目前的研究热点。对于二维问题,一种有效的边界恢复算法是边交换法。这种方法基于一个简单的原理,即相邻两个三角形所构成的四边形的两个对角线可以互换,而不影响两个三角形与相邻三角形的相容关系。这样,可以通过不断地进行四边形对角线的交换来保证域边界的存在。三维问题的边界恢复过程更为复杂,行之有效的二维边界恢复算法并不能直接扩展到三维问题。Ｊｏｅ提出一种分治算法,这种算法的重点不是放在如何在实体剖分完成之后恢复边界,而是在实体剖分之前将目标域划分成若干个凸域。对每一个凸域进行Ｄｅｌａｕｎａｙ三角剖分,可以保证原问题区域边界的完整性。这种方法的难点在于如何将任意复杂目标域划分为若干凸域的集合。

    另一种比较常用的三维问题边界恢复算法,称为装订法。该方法基本上可分成两步:①恢复边界三角形的线段;②恢复边界三角形。当边界线段与其他单元相交时则在线段上插入节点,这样,边界线段即可被恢复。三角形边界面恢复的思路与此类似,也是通过在三角形面上插入节点来恢复此边界面。这种边界恢复算法对于三维问题是有效的,但应注意,该算法在边界线段以及边界面上插入了新的节点,原有边界三角形也被分解为多个小的三角形,因而新的边界并不是严格意义上的原有边界。

    三维Ｄｅｌａｕｎａｙ三角化方法的另一个问题是所谓薄元(ｓｌｉｖｅｒｅｌｅｍｅｎｔ)的存在。这里的薄元是指四个节点几乎共面的四面体单元。薄元问题的解决对于Ｄｅｌａｕｎａｙ三角化方法在三维有限元网格生成中的应用至关重要。一种解决方法是采用抖动算法,即将四个节点中的一个节点进行移动,从而将扁平单元“拉”起来。然而,抖动算法在实际应用中有许多困难,在某些情况下还可能失效。

    针对上述问题,研究并实现了一种有效的三维约束Ｄｅｌａｕｎａｙ三角剖分的边界恢复算法,该算法综合了Ｐ.Ｌ.Ｇｅｏｒｇｅ算法和Ｎ.Ｐ.Ｗｅａｔｈｅｒｉｌｌ算法的优点,通过将约束边和约束面加以恢复,保持了实体边界的完整性,解决了经典Ｄｅｌａｕｎａｙ算法不能剖分凹域的问题,从而实现了复杂三维实体的网格剖分;提出了一种简易而有效的消除薄元方法———薄元分解法,彻底解决了三维Ｄｅｌａｕｎａｙ三角剖分过程中所产生的薄元问题。实践证明,边界恢复算法和薄元消除算法健壮有效,生成网格的质量高[12]。图4为本文算法给出的三维实体网格生成的几个算例。

    5　参数化形状优化设计系统框架

    基于以上几方面工作,参数化形状优化设计的总体流程表达如下:

    步骤1　初始化,建立参数化的有限元模型;

    步骤2　使用非线性分析程序ＪＩＦＥＸ进行有限元分析,得到的分析结果数据作为下一步形状优化的初始条件;

    步骤3　对优化器进行初始化;

    步骤4　调用优化器;

    步骤5　若优化器返回值ＩＮＦＯ=0,说明优化过程完成,跳到步骤9;否则,说明优化过程未完成,此时优化器给出新的设计变量;

    步骤6　将新的设计变量提交给参数化有限元建模系统,生成新的有限元模型;

    步骤7　将新的有限元模型提交给ＪＩＦＥＸ进行有限元分析,返回分析结果数据;

    步骤8　根据分析结果数据计算目标值与约束方程值,并跳回步骤4;

    步骤9　结束。

    6　算例实现

    算例1　扭力臂形状优化设计

    结构初始设计:几何形状定义如图5所示(图中单位:ｃｍ);荷载:在圆柱面Ａ上施加平行于ｘ轴指向ｘ正方向的表面压力;边界条件:圆柱面Ｂ的位移设为全固定;优化设计变量:截面轮廓图中带有英文名称(如Ｒ1,Ｌ1,Ｈ1等)的尺寸标注为结构的形状优化设计变量;形状优化的目标:在满足给定的应力约束和位移约束的前提下,使整个结构的重量达到最小。

　　图6给出了优化前后扭力臂几何形状的对比。经过形状优化设计,在满足给定的应力约束和位移约束的前提下,结构的重量降低了33.6%。

    算例2　通用接头的形状优化设计

    结构初始设计:几何形状定义如图7所示(图中单位:ｍｍ);荷载:在圆柱面Ａ上施加表面压力;边界条件:圆环面Ｂ受固定约束;优化设计变量:图7中的ｒａｄｉｕｓ、ｌｅｎｇｔｈ和倒角ｆｉｌｅｔ;形状优化的目标:在满足给定的应力约束和位移约束的前提下,使整个结构的重量达到最小。图8给出了优化前后结构形状、应力云图对比,可以看到,结构的形状有了明显的改变,也更加符合实际情况。

    表1列出了优化设计前后的各项数据值,可以看到,结构的重量和应力都有了明显的降低,分别为51%和33%。

    7　结束语

    三维参数化ＣＡＤ技术、有限元建模技术、有限元分析与优化技术的发展,已使参数化的三维结构形状优化设计成为较为现实的目标,而基于ＣＡＤ/ＣＡＥ集成的参数化动态有限元建模,是实现这一先进分析设计技术的重要基础。本文提出并实现的三维参数化动态有限元建模方法,能够较好地适应三维连续体形状优化问题,解决了以往结构形状优化方法中存在的三维建模困难、通用性差等问题,为机械产品三维结构优化设计提供了一个新途径。

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